Chọn phương án D.

Điều kiện $-x^2+2x+2222>0\Leftrightarrow\begin{cases}
x\leq1+3\sqrt{247}\\ x\geq1-3\sqrt{247}
\end{cases}$
\begin{eqnarray*}
&\log_2\left(4444+4x-2x^2\right)&=2\cdot2^{y^2}+y^2+x^2-2x-2220\\
\Leftrightarrow&\log_22+\log_2\left(-x^2+2x+2222\right)-x^2+2x+2220&=2^{y^2+1}+y^2\\
\Leftrightarrow&\left(-x^2+2x-2222\right)+\log_2\left(-x^2+2x+2222\right)&=2^{y^2+1}+\left(y^2+1\right)\\
\Leftrightarrow&2^{\log_2\left(-x^2+2x+2222\right)}+\log_2\left(-x^2+2x+2222\right)&=2^{y^2+1}+\left(y^2+1\right)\,(*)
\end{eqnarray*}
Xét hàm số $f\left(t\right)=2^t+t$, ta thấy $f(t)$ đồng biến trên $\left[1-3\sqrt{247};1+3\sqrt{247}\right]$

Vậy từ $(*)$ ta suy ra $$y^2+1=\log_2\left(-x^2+2x+2222\right)\le{\log_2}2223\approx11,12$$
Nên $y^2+1<12\Leftrightarrow y^2<11\Leftrightarrow-\sqrt{11}<x<\sqrt{11}$.

Vì $y\in\mathbb{Z}$ nên $y\in\left\{\pm3;\pm2;\pm1;0\right\}$

Vậy có $7$ số nguyên thỏa đề.