Chọn phương án B.

Với $1\le x\le4\Leftrightarrow0\le\log_2x\le2$.

Đặt $t=\log_2x\,(0\le t\le2)$.
Xét hàm số $g(t)=t^3-3t+m,\,t\in\left[0;2\right]$

Ta có $g'\left(t\right)=3t^2-3$. Cho $g'(t)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-1.\end{array}\right.$

$\blacksquare$ Trường hợp 1: $m-2\geq0\Leftrightarrow m\geq2$
\begin{eqnarray*}
&\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|&=6\\
\Leftrightarrow&m+2+m-2&=6\\
\Leftrightarrow&m&=3\,(\text{nhận})
\end{eqnarray*}
$\blacksquare$ Trường hợp 2: $m+2\leq0\Leftrightarrow m\le-2$
\begin{eqnarray*}
&\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|&=6\\
\Leftrightarrow&-\left(m-2\right)-\left(m+2\right)&=6\\
\Leftrightarrow&m&=-3\,(\text{nhận})
\end{eqnarray*}
$\blacksquare$ Trường hợp 3: $\left(m+2\right)\left(m-2\right)<0\Leftrightarrow-2<m<2$
Khi đó $\min\limits_{\left[0;2\right]}\left|g\left(t\right)\right|=0$. Do đó
\begin{eqnarray*}
&\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|&=6\\
\Leftrightarrow&\max\limits_{\left[0;2\right]}\left|g\left(t\right)\right|&=6\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}
m+2=6\\
-m+2=6
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}
m=4\\
m=-4
\end{array}\right.\,(\text{loại})
\end{eqnarray*}
Vậy tổng bình phương tất cả các phần tử của $S$ bằng $3^2+\left(-3\right)^2=18$.