Cho hình nón $S$ có chiều cao bằng $3a$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $S$ cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=6\sqrt{3}a$. Biết khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến $\left(P\right)$ bằng $\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$. Thể tích $V$ của khối nón bị giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
 | $V=54\pi a^3$ |
 | $V=108\pi a^3$ |
 | $V=36\pi a^3$ |
 | $V=18\pi a^3$ |
Chọn phương án C.
Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy, ta có chiều cao hình nó là $SO=3a$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$, ta có $OH\perp AB$ và $AH=3a\sqrt{3}$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $SH$, ta có $$d\left(O,\left(P\right)\right)=OK=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}.$$
Xét tam giác vuông $SOH$ ta có $$\begin{aligned}
\dfrac{1}{OK^2}&=\dfrac{1}{OS^2}+\dfrac{1}{OH^2}\\
\Rightarrow\dfrac{1}{OH^2}&=\dfrac{1}{OK^2}-\dfrac{1}{OS^2}\\
&=\dfrac{2}{9a^2}-\dfrac{1}{9a^2}=\dfrac{1}{9a^2}\\
\Rightarrow OH&=3a.
\end{aligned}$$
Bán kính đường tròn đáy là $$r=OA=\sqrt{OH^2+AH^2}=\sqrt{9a^2+27a^2}=6a.$$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi\left(6a\right)^2\cdot3a=36\pi{a^3}$.