Chọn phương án C.

Giả sử $z=x+yi$, ta có $$\begin{aligned}
(z-6)\big(8+\overline{zi}\big)&=(z-6)\big(8-\overline{z}i\big)\\
&=8z-|z|^2i-48+6\overline{z}i\\
&=(8x+6y-48)+\big(6x+8y-|z|^2\big)i.
\end{aligned}$$
Theo đề bài thì $$\begin{aligned}
6x+8y-|z|^2=0&\Leftrightarrow6x-8y-\big(x^2+y^2\big)=0\\
&\Leftrightarrow(x-3)^2+(y-4)^2=25.
\end{aligned}$$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_1,\,z_2$ là đường tròn tâm $I(3;4)$ bán kính $R=5$.

Gọi $A,\,B$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z_1$ và $z_2$, ta có $\left|z_1+3z_2\right|=\left|\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\right|$.

Giả sử $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MB}$. Khi đó $$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\right|&=\left|\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}\right)+3\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)\right|\\ &=\left|4\overrightarrow{OM}+\left(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right)\right|\\ &=4OM.\end{aligned}$$
Vì $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MB}$ nên $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$ cùng phương, ngược hướng và $MA=3MB$. Vậy $M$ là điểm trên đoạn $AB$ sao cho $MA=3MB$.

Vì $AB=4$ là dây cung di động trên đường tròn tâm $I$ bán kính $R=5$ nên điểm $M$ cũng di động trên đường tròn tâm $I$ bán kính $r=IM$.

Gọi $N$ là trung điểm $AB$, khi đó $\triangle INB$ vuông tại $N$. Do đó $$IN^2=IB^2-NB^2=5^2-2^2=21.$$
Ngoài ra, $\triangle INM$ cũng vuông tại $N$, cho nên $$IM^2=IN^2+NM^2=21+1=22\Rightarrow IM=\sqrt{22}.$$
Vậy điểm $M$ nằm trên đường tròn tâm $I$ bán kính $r=\sqrt{22}$. Do đó

• $OM_{\max}=OI+r=5+\sqrt{22}$
• $OM_{\min}=|OI-r|=5-\sqrt{22}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left|z_1+3z_2\right|$ là $4OM=4\left(5-\sqrt{22}\right)$.