Cho hàm số $y=f(x)=x^3-5x^2+2$ có đồ thị $(\mathscr{C})$. Có bao nhiêu tiếp tuyến của $(\mathscr{C})$ đi qua điểm $A(0;2)$?
 | $1$ |
 | $4$ |
 | $3$ |
 | $2$ |
Chọn phương án D.
Ta có $f'(x)=3x^2-10x$.
Gọi $d\colon y=ax+b$ là tiếp tuyến cần tìm. Vì $A\in d$ nên $2=a\cdot0+b\Leftrightarrow b=2$. Vậy $d\colon y=ax+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm $$\begin{aligned}
x^3-5x^2+2=ax+2&\Leftrightarrow x^3-5x^2-ax=0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x=0\\ x^2-5x-a=0 &(1)\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Để $d$ là tiếp tuyến của $(\mathscr{C})$ thì phương trình (1) có nghiệm kép, tức là $$\Delta=0\Leftrightarrow25+4a=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{25}{4}$$
Khi đó $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-5}{2\cdot1}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow y=-\dfrac{109}{8}$.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề là $d_1\colon y=2$ và $y=-\dfrac{25}{4}x+2$.