Chọn phương án D.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AB$, gọi $O$ là tâm của đường tròn đáy. Khi đó tam giác $OIA$ vuông tại $I$.

Suy ra $OI^2=OA^2-IA^2=\left(2\sqrt{3}a\right)^2-(2a)^2=8a^2$.

Trong tam giác $SOI$, gọi $OH$ là đường cao. Khi đó

• $OH\perp SI$
• $\begin{cases}AB\perp OI\\ AB\perp SO\end{cases}\Rightarrow AB\perp OH$

Vậy $OH\perp(SAB)$. Suy ra $OH=\mathrm{d}\left(O,(SAB)\right)=2a$.

Xét tam giác vuông $SOI$ ta có $$\begin{aligned}
\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OI^2}+\dfrac{1}{OS^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{OS^2}&=\dfrac{1}{OH^2}-\dfrac{1}{OI^2}\\
&=\dfrac{1}{(2a)^2}-\dfrac{1}{8a^2}=\dfrac{1}{8a^2}.\\
\Leftrightarrow OS^2&=8a^2\\
\Leftrightarrow OS&=2a\sqrt{2}.
\end{aligned}$$
Vậy thể tích của khối nón đã cho bằng $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\left(2a\sqrt{3}\right)^2\cdot2a\sqrt{2}=8\sqrt{2}\pi a^3.$$