Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[1;3]$, $F(1)=3$, $F(3)=5$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3\left(x^4-8x\right)f(x)\mathrm{\,d}x=12$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3\left(x^3-2\right)F(x)\mathrm{\,d}x$.
 | $I=\dfrac{147}{2}$ |
 | $I=\dfrac{147}{3}$ |
 | $I=-\dfrac{147}{2}$ |
 | $I=147$ |
Chọn phương án A.
Đặt $\begin{cases}
u=x^4-8x\\ v'=f(x)
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
u'=(4x^3-8)\\ v=F(x)
\end{cases}$
Khi đó
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle\int\limits_1^3\left(x^4-8x\right)f(x)\mathrm{\,d}x&=\left(x^4-8x\right)F(x)\bigg|_1^3-\displaystyle\int\limits_1^3\left(4x^3-8\right)F(x)\mathrm{\,d}x\\
\Leftrightarrow&12&=57\cdot F(3)+7\cdot F(1)-4\displaystyle\int\limits_1^3\left(x^3-2\right)F(x)\mathrm{\,d}x\\
\Leftrightarrow&12&=285+21-4I\\
\Leftrightarrow&I&=\dfrac{147}{2}.
\end{eqnarray*}