Chọn phương án D.

Đặt cánh cửa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $DC$ nằm trên trục $Ox$ và gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm của $DC$.

Vì parabol đi qua các điểm $A(-1;4)$, $B(1,4)$ và $E(0,5)$ nên ta có hệ $$\begin{cases}
4=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c\\ 4=a\cdot1^2+b\cdot1+c\\ 5=a\cdot0^2+b\cdot0+c
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
a=-1\\ b=0\\ c=5
\end{cases}$$
Vậy parabol đã cho có phương trình $y=-x^2+5$.

Khi đó, cánh cửa sắt mà ông An muốn làm có diện tích bằng $$S=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\left(-x^2+5\right)\mathrm{\,d}x=\left(-\dfrac{x^3}{3}+5x\right)\bigg|_{-1}^1=\dfrac{28}{3}\text{ m}^2$$
Vậy số tiền phải trả là $\dfrac{28}{3}\cdot900000=8400000$ đồng.