Chọn phương án B.

Ta có $\left|3z_1+z_2-5i\right|\leq\left|3z_1+z_2\right|+|-5i|=\left|3z_1+z_2\right|+5$.

Giả sử $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$. Theo đề bài ta có

• $\sqrt{a^2+b^2}=1\Leftrightarrow a^2+b^2=1$
• $\sqrt{c^2+d^2}=2\Leftrightarrow c^2+d^2=4$
• $\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)-2(ac+bd)=3$.
  Suy ra $ac+bd=1$.

Ta có $3z_1+z_2=(3a+c)+(3b+d)i$.

$\begin{aligned}\Rightarrow\left|3z_1+z_2\right|&=\sqrt{(3a+c)^2+(3b+d)^2}\\ &=\sqrt{9\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)+6(ac+bd)}\\ &=\sqrt{19}.\end{aligned}$

Do đó $\left|3z_1+z_2-5i\right|\leq\sqrt{19}+5$.

Vậy giá trị lớn nhất của $\left|3z_1+z_2-5i\right|$ bằng $5+\sqrt{19}$.