Chọn phương án A.

\begin{eqnarray*}
&y&=\dfrac{\sin x-\cos x+\sqrt{2}}{\sin x+\cos x+2}\\
\Leftrightarrow&y(\sin x+\cos x+2)&=\sin x-\cos x+\sqrt{2}
\\
\Leftrightarrow&(y-1)\sin x+(y+1)\cos x&=\sqrt{2}-2y.
\end{eqnarray*}
Phương trình này có nghiệm khi \begin{eqnarray*}
&(y-1)^2+(y+1)^2&\geq\left(\sqrt{2}-2y\right)^2\\
\Leftrightarrow&2y^2+2&\geq4y^2-4\sqrt{2}y+2\\
\Leftrightarrow&2y^2-4\sqrt{2}y&\leq0.
\end{eqnarray*}

Suy ra $0\leq y\leq2\sqrt{2}$.

Vậy $\begin{cases}
\max y=2\sqrt{2}=M\\ \min y=0=N
\end{cases}$. Do đó $2M+N=4\sqrt{2}$.