Chọn phương án D.

Vì $\begin{cases}OA=CD=a\\ OA\parallel CD\\ CD=AD=a\end{cases}$ nên $AOCD$ là hình thoi.

Lại vì $\begin{cases}\widehat{BOC}=\widehat{BAD}=60^\circ\\ OB=OC=AD=a\end{cases}$ nên $\triangle OBC$ là tam giác đều.
$\Rightarrow\widehat{OBC}=60^\circ\Rightarrow ABCD$ là hình thang cân.

Gọi $CH$ là đường cao $\triangle BOC\Rightarrow CH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Hơn nữa, $CH$ cũng là đường cao của hình thang $ABCD$.
$\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot CH\left(AB+CD\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2$.

Dễ thấy, $AOD$ và $COD$ là các tam giác đều.
$\Rightarrow AC=2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.