Chọn phương án C.

Với mọi số nguyên \(x\) ta đều có $$x^2\ge x\Leftrightarrow-x^2\leq-x$$
Xét hàm số \(f(y)=\log_3(x+y)-\log_4\left(x^2+y\right)\).

Điều kiện xác định: \(\begin{cases}
y>-x\\ y>-x^2
\end{cases}\Leftrightarrow y>-x\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=(-x;+\infty)\).

Vì \(x^2+y\ge x+y>0\) và \(\ln4>\ln3\) nên $$f'(y)=\dfrac{1}{(x+y)\ln3}-\dfrac{1}{\left(x^2+y\right)\ln4}\ge0,\;\forall x\in\mathscr{D}$$\(\Rightarrow f(y)\) đồng biến trên \(\mathscr{D}\).

Theo đề bài, có không quá \(728\) số nguyên \(y\) thỏa mãn \(f\left(y\right)\le0\), tức là $$\begin{aligned}
f(-x+729)>0\Leftrightarrow&\log_3729-\log_4\left(x^2-x+729\right)>0\\
\Leftrightarrow&6-\log_4\left(x^2-x+729\right)>0\\
\Leftrightarrow&6>\log_4\left(x^2-x+729\right)\\
\Leftrightarrow&x^2-x+729<4^6\\
\Leftrightarrow&x^2-x-3367<0\\
\Leftrightarrow&-57,5\le x\le 58,5
\end{aligned}$$
Vì \(x\) nguyên nên \(x\in\left\{-57,\,-56,\,\ldots,\,58\right\}\).

Vậy có \(58-(-57)+1=116\) số nguyên \(x\) thỏa đề.