Ngân hàng bài tập
SS
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập \(\left\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng
 | \(\dfrac{25}{42}\) |
 | \(\dfrac{5}{21}\) |
 | \(\dfrac{65}{126}\) |
 | \(\dfrac{55}{126}\) |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Có \(\mathrm{A}_9^4\) cách tạo ra số có 4 chữ số phân biệt từ \(X=\left\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right\}\).
\(\Rightarrow\left|S\right|=\mathrm{A}_9^4=3024\) hay \(\Rightarrow\left|\Omega\right|=3024\).
Gọi biến cố A:"Chọn được số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn".
Nhận xét: Số chọn được không thể có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn vì lúc đó luôn tồn tại hai chữ số chẵn nằm cạnh nhau.
- Cả 4 chữ số đều lẻ: có \(\mathrm{A}_5^4=120\) số (1)
- Có 3 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn:
• Chọn \(3\) chữ số lẻ: có \(\mathrm{C}_5^3\) cách
• Chọn \(1\) chữ số chẵn: có \(\mathrm{C}_4^1\) cách
• Hoán vị \(4\) số: có \(4!\) cách
\(\Rightarrow\) Có \(\mathrm{C}_5^3\cdot\mathrm{C}_4^1\cdot4!=960\) số (2) - Có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn:
• Xếp \(2\) chữ số lẻ: có \(\mathrm{A}_5^2\) cách
• Xếp \(2\) chữ số chẵn: có \(\mathrm{A}_4^2\) cách
• Xếp các chữ số sao cho \(2\) chữ số chẵn không đứng cạnh nhau: có \(3\) cách (CLCL, LCLC, CLLC)
\(\Rightarrow\) Có \(\mathrm{P}_5^3\cdot\mathrm{P}_4^1\cdot3=720\) số (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $$|A|=120+960+720=1800.$$
Vậy \(P\left(A\right)=\dfrac{|A|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{1800}{3024}=\dfrac{25}{42}\).