Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left(S\right)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0\) cắt mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x+y-z+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\). Tính diện tích \(S\) của hình tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\).
 | \(S=\dfrac{2\pi\sqrt{78}}{3}\) |
 | \(S=2\pi\sqrt{6}\) |
 | \(S=6\pi\) |
 | \(S=\dfrac{26\pi}{3}\) |
Chọn phương án C.
Xét mặt cầu \(\left(S\right)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0\), ta có $$\begin{cases}
a=\dfrac{-2}{-2}=1\\
b=\dfrac{4}{-2}=-2\\
c=0\\
d=-4
\end{cases}$$Suy ra tâm \(I(1;-2;0)\), bán kính $$R=\sqrt{1^2+(-2)^2+0^2-(-4)}=3$$
Gọi \(h\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((P)\), \(r\) là bán kính của đường tròn giao tuyến \(\left(\mathscr{C}\right)\).
Ta có
$$h=\mathrm{d}\left(I,(P)\right)=\dfrac{\left|1-2-0+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\sqrt{3}$$
Do đó \(r=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{3^2-\sqrt{3}^2}=\sqrt{6}\).
Vậy hình tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\) có diện tích bằng $$S=\pi r^2=\pi\cdot\sqrt{6}^2=6\pi$$