Ngân hàng bài tập
S
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu đi qua ba điểm \(A\left(2;0;1\right)\), \(B\left(1;0;0\right)\), \(C\left(1;1;1\right)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x+y+z-2=0\) có phương trình là
 | \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1\) |
 | \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=4\) |
 | \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=1\) |
 | \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=4\) |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Phương trình mặt cầu có dạng $$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$$
Vì mặt cầu đi qua \(A,\,B,\,C\) nên ta có hệ $$\begin{aligned}
&\begin{cases}
2^2+1^2-4a-2c+d&=0\\
1^2-2a+d&=0\\
1^2+1^2+1^2-2a-2b-2c+d&=0
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
-4a-2c+d&=-5\\
-2a+d&=-1\\
-2a-2b-2c+d&=-3
\end{cases}
\end{aligned}$$
Mặt khác, vì tâm \(I(a;b;c)\in(P)\) nên ta có \(a+b+c-2=0\).
&\begin{cases}
2^2+1^2-4a-2c+d&=0\\
1^2-2a+d&=0\\
1^2+1^2+1^2-2a-2b-2c+d&=0
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
-4a-2c+d&=-5\\
-2a+d&=-1\\
-2a-2b-2c+d&=-3
\end{cases}
\end{aligned}$$
Mặt khác, vì tâm \(I(a;b;c)\in(P)\) nên ta có \(a+b+c-2=0\).
Vậy ta có hệ $$\begin{cases}
-4a-2c+d&=-5\\
-2a+d&=-1\\
-2a-2b-2c+d&=-3\\
a+b+c&=2
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a=1\\ b=0\\ c=1\\ d=1
\end{cases}$$
Vậy mặt cầu đã cho có tâm \(I(1;0;1)\) và bán kính \(R=\sqrt{1^2+0^2+1^2-1}=1\) nên có phương trình $$\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1$$