Chọn phương án C.

Ta có $$\sqrt{3}\cos x+m-1=0\Leftrightarrow\cos x=\dfrac{1-m}{\sqrt{3}}$$
Vì \(-1\leq\cos x\leq\) nên phương trình đã cho có nghiệm khi $$\begin{eqnarray*}
-1\leq&\dfrac{1-m}{\sqrt{3}}&\leq1\\
\Leftrightarrow-\sqrt{3}\leq&1-m&\leq\sqrt{3}\\
\Leftrightarrow-\sqrt{3}-1\leq&-m&\leq\sqrt{3}-1\\
\Leftrightarrow\sqrt{3}+1\geq&m&\geq1-\sqrt{3}
\end{eqnarray*}$$Vì \(m\in\mathbb{Z}\) nên \(m\in\{0;1;2\}\).

Vậy có \(3\) giá trị nguyên thỏa đề.