Chọn phương án A.

Ta có \(y'=3x^2-4mx+m^2\).

Vì tọa độ điểm cực tiểu là \((1;3)\) nên ta có $$\begin{aligned}
\begin{cases}
y'(1)=0\\ y(1)=3
\end{cases}\Leftrightarrow&\begin{cases}
m^2-4m+3=0\\ m^2-2m+n+1=3
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}\begin{cases}
m=1\\
n=3
\end{cases}\\ \begin{cases}
m=3\\
n=-1
\end{cases}\end{array}\right.
\end{aligned}$$Lại có \(y''=6x-4m\).

• \(m=1\): \(y''=6x-4\)
  Vì \(y''(1)=2>0\) nên \(x=1\) là điểm cực tiểu.
• \(m=3\): \(y''=6x-12\)
  Vì \(y''(1)=-6<0\) nên \(x=1\) là điểm cực đại.

Vậy \(\begin{cases}
m=1\\
n=3
\end{cases}\). Suy ra \(m+n=4\).