Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;-2;3)\), \(B(4;2;3)\), \(C(3;4;3)\). Gọi \(\left(S_1\right),\,\left(S_2\right),\,\left(S_3\right)\) là các mặt cầu có tâm \(A,\,B,\,C\) và bán kính lần lượt là \(3,\,2,\,3\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm \(I\left(\dfrac{14}{5};\dfrac{2}{5};3\right)\) và tiếp xúc với cả ba mặt cầu \(\left(S_1\right),\,\left(S_2\right),\,\left(S_3\right)\)?
 | \(2\) |
 | \(7\) |
 | \(0\) |
 | \(1\) |
Chọn phương án D.
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(3;4;0)\).
Suy ra \(AB=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5=R_1+R_2\).
Vậy \(\left(S_1\right)\) và \(\left(S_2\right)\) tiếp xúc ngoài tại một điểm.
Ta lại có:
- \(\overrightarrow{AI}=\left(\dfrac{9}{5};\dfrac{12}{5};0\right)\)
\(\Rightarrow AI=\sqrt{\left(\dfrac{9}{5}\right)^2+\left(\dfrac{12}{5}\right)^2+0^2}=3=R_1\)
\(\Rightarrow I\in\left(S_1\right)\) - \(\overrightarrow{BI}=\left(-\dfrac{6}{5};-\dfrac{8}{5};0\right)\)
\(\Rightarrow AI=\sqrt{\left(-\dfrac{6}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{5}\right)^2+0^2}=2=R_2\)
\(\Rightarrow I\in\left(S_2\right)\)
Vậy \(\left(S_1\right)\cap\left(S_2\right)=I\).
Do đó, chỉ có duy nhất một mặt phẳng \((P)\) đi qua \(I\) và tiếp xúc đồng thời \(\left(S_1\right),\,\left(S_2\right)\).
Vì \((P)\) tiếp xúc với \(\left(S_1\right)\) tại \(I\) nên nhận \(\overrightarrow{AI}=\left(\dfrac{9}{5};\dfrac{12}{5};0\right)\) làm vectơ pháp tuyến.
\(\begin{aligned}
\Rightarrow(P)\colon&\,\dfrac{9}{5}\left(x-\dfrac{14}{5}\right)+\dfrac{12}{5}\left(y-\dfrac{2}{5}\right)=0\\
\Leftrightarrow&\,3x+4y-10=0.
\end{aligned}\)
Khi đó \(\mathrm{d}\left(C,(P)\right)=\dfrac{|3\cdot3+4\cdot4-10|}{\sqrt{3^2+4^2+0^2}}=3=R_3\).
Suy ra \((P)\) cũng tiếp xúc với \(\left(S_3\right)\).
Vậy \((P)\) là mặt phẳng duy nhất thỏa mãn đề bài.