Chọn phương án A.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABD\) ta có: $$\begin{aligned}
\cos\widehat{BAD}&=\dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}{2AB\cdot AD}\\
&=\dfrac{a^2+a^2-\left(a\sqrt{3}\right)^2}{2a\cdot a}\\
&=-\dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow\widehat{BAD}&=120^\circ.
\end{aligned}$$Khi đó $$S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot\sin\widehat{BAD}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là $$\begin{aligned}
V_{ABCD.A'B'C'D'}&=AA'\cdot S_{ABCD}\\
&=4a\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\\
&=2\sqrt{3}a^3.
\end{aligned}$$