Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AB=2a\), \(AD=DC=CB=a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3a\) (như hình minh họa trên). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(DM\) bằng
 | \(\dfrac{3a}{4}\) |
 | \(\dfrac{3a}{2}\) |
 | \(\dfrac{3\sqrt{13}a}{13}\) |
 | \(\dfrac{6\sqrt{13}a}{13}\) |
Chọn phương án A.
Ta có \(DC\parallel MB\) và \(DC=BC=MB=a\).
Suy ra tứ giác \(DMBC\) là hình thoi.
Do đó \(DM\parallel BC\).
Lại vì \(BC\subset\left(SBC\right)\) và \(DM\not\subset\left(SBC\right)\) nên \(DM\parallel\left(SBC\right)\)
Suy ra \(d\left(SB,DM\right)=d\left(M,\left(SBC\right)\right)\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên $$d\left(M,\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A,\left(SBC\right)\right).$$
Từ giả thiết ta có $$\widehat{ADC}=\widehat{ADM}+\widehat{MDC}=120^\circ.$$
Áp dụng định lí Cosin vào tam giác \(ADC\) ta được $$\begin{aligned}
AC^2&=AD^2+DC^2-2AD\cdot DC\cdot\cos\widehat{ADC}\\
&=a^2+a^2-2a^2\cdot\cos120^\circ=3a^2\\
\Rightarrow AC&=a\sqrt{3}.
\end{aligned}$$
Ta nhận thấy \(AC^2+CB^2=4a^2=AB^2\) do đó \(\triangle ACB\) vuông tại \(C\).
Suy ra \(AC\bot BC\). (*)
Ngoài ra, vì \(SA\bot\left(ABCD\right)\) nên \(SA\bot BC\). (**)
Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra \(BC\bot\left(SAC\right)\).
Vì \(BC\bot\left(SAC\right)\) nên suy ra \(AH\bot BC\).
Do đó: \(AH\bot\left(SBC\right)\), tức là $$d\left(A,(SBC)\right)=AH.$$
AH\cdot SC&=SA\cdot AC\\
\Rightarrow AH&=\dfrac{SA\cdot AC}{SC}\\
&=\dfrac{3a\cdot a\sqrt{3}}{\sqrt{(3a)^2+\left(a\sqrt{3}\right)^2}}=\dfrac{3a}{2}.
\end{aligned}$$
Vậy \(d\left(A,(SBC)\right)=\dfrac{3a}{2}\).
Suy ra \(d\left(M,(SBC)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A,(SBC)\right)=\dfrac{3a}{4}\).
Vậy khoảng cách giữa \(SB\) và \(DM\) bằng \(\dfrac{3a}{4}\).
Định lý cosin trong tam giác
Cho tam giác \(ABC\) với độ dài ba cạnh lần lượt là \(a,\,b,\,c\). Khi đó $$\begin{align*} a^2&=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot\cos A\\ b^2&=c^2+a^2-2c\cdot a\cdot\cos B\\ c^2&=a^2+b^2-2a\cdot b\cdot\cos C \end{align*}$$