Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)\colon mx+2y+nz+1=0$ và $(Q)\colon x-my+nz+2=0$ $(m,\,n\in\mathbb{R})$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)\colon 4x-y-6z+3=0$. Tính $m+n$.
 | $m+n=0$ |
 | $m+n=2$ |
 | $m+n=1$ |
 | $m+n=3$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;1;0)$, $B(0;2;1)$, $C(1;3;-1)$. Điểm $M(a;b;c)\in(Oxy)$ sao cho $\big|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\big|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $a+b+c=3$ |
| $a+b+c=-3$ |
| $a+b+c=-4$ |
| $a+b+c=10$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi mặt phẳng $(P)\colon7x+by+cz+d=0$ (với $b,\,c,\,d\in\mathbb{R}$, $c< 0$) đi qua điểm $A(1;3;5)$. Biết mặt phẳng $(P)$ song song với trục $Oy$ và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $3\sqrt{2}$. Tính $T=b+c+d$.
| $T=61$ |
| $T=78$ |
| $T=7$ |
| $T=-4$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha)\colon2x+2y-z-6=0$. Gọi mặt phẳng $(\beta)\colon x+y+cz+d=0$ không qua $O$, song song với mặt phẳng $(\alpha)$ và $\mathrm{d}\left((\alpha),(\beta)\right)=2$. Tính $c\cdot d$?
| $cd=3$ |
| $cd=0$ |
| $cd=12$ |
| $cd=6$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\begin{cases} x=1+t\\ y=a-2t\\ z=bt \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ nằm trong mặt phẳng $(P)\colon x+y-z-2=0$. Tổng $a+b$ có giá trị là
| $-3$ |
| $-1$ |
| $1$ |
| $0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3)$ và $B(6;5;5)$. Xét khối nón $(N)$ có đỉnh $A$, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB$. Khi $(N)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình dạng $2x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+d$ bằng
| $-21$ |
| $-12$ |
| $-18$ |
| $-15$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left(2;-1;5\right)\), \(B\left(5;-5;7\right)\) và \(M\left(x;y;1\right)\). Với giá trị nào của \(x\) và \(y\) thì \(3\) điểm \(A,\,B,\,M\) thẳng hàng?
| \(x=4\) và \(y=7\) |
| \(x=-4\) và \(y=-7\) |
| \(x=4\) và \(y=-7\) |
| \(x=-4\) và \(y=7\) |
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(2;-1;5)\), \(B(5;-5;7)\), \(M(x;y;1)\). Với giá trị nào của \(x,\,y\) thì \(A,\,B,\,M\) thẳng hàng?
| \(x=4;\,y=7\) |
| \(x=4;\,y=-7\) |
| \(x=-4;\,y=7\) |
| \(x=-4;\,y=-7\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=16\) và các điểm \(A\left(1;0;2\right)\), \(B\left(-1;2;2\right)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,\,B\) sao cho thiết diện của mặt phẳng \((P)\) với mặt cầu \((S)\) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình \((P)\) dưới dạng \(ax+by+cx+3=0\). Tính tổng \(T=a+b+c\).
| \(-2\) |
| \(-3\) |
| \(0\) |
| \(3\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}\) và hai điểm \(A(-1;3;1)\), \(B(0;2;-1)\). Gọi \(C(m;n;p)\) là điểm thuộc \(d\) sao cho diện tích của tam giác \(ABC\) bằng \(2\sqrt{2}\). Giá trị của \(T=m+n+p\) bằng
| \(T=0\) |
| \(T=-1\) |
| \(T=-2\) |
| \(T=3\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-1}{1}\) cắt mặt phẳng \((P)\colon2x-3y+z-2=0\) tại điểm \(I(a;b;c)\). Khi đó \(a+b+c\) bằng
| \(7\) |
| \(3\) |
| \(9\) |
| \(5\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;-1;2)\) và hai đường thẳng \(d_1\colon\begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=-1\end{cases}\), \(d_2\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M\) và cắt cả hai đường thẳng \(d_1\), \(d_2\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=(1;a;b)\). Tính \(a+b\).
| \(a+b=1\) |
| \(a+b=-1\) |
| \(a+b=-2\) |
| \(a+b=2\) |
Trong không gian \(Oxyz\), điểm \(M(a;b;c)\) thuộc mặt phẳng \((P)\colon x+y+z-6=0\). Tổng \(a+b+c\) bằng
| \(6\) |
| \(-6\) |
| \(0\) |
| \(5\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(G(1;2;3)\). Gọi \((P)\colon px+qy+rz+1=0\) (\(p,\,q,\,r\in\Bbb{R}\)) là mặt phẳng qua \(G\) và cắt các trục \(Ox,\,Oy,\,Oz\) tại \(A,\,B,\,C\) sao cho \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Tính \(T=p+q+r\).
| \(T=-\dfrac{11}{18}\) |
| \(T=\dfrac{11}{18}\) |
| \(T=18\) |
| \(T=-18\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;4;3)$, $B(5;0;3)$. Một hình trụ $(T)$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $AB$ đồng thời nhận $AB$ làm trục của hình trụ. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là tâm các đường tròn đáy của $(T)$ ($M$ nằm giữa $A$, $N$). Khi thiết diện qua trục của $(T)$ có diện tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm $M$ của $(T)$ có dạng $ax+by+cz+d=0$. Giá trị của $b-d$ bằng
| $2\sqrt{2}$ |
| $2+2\sqrt{2}$ |
| $-2\sqrt{2}$ |
| $4+\sqrt{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=(2;m-1;3)$, $\overrightarrow{b}=(1;3;-2n)$. Tìm $m,\,n$ để các vectơ $\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b}$ cùng phương.
| $m=7$; $n=\dfrac{3}{4}$ |
| $m=1$; $n=0$ |
| $m=4$; $n=-3$ |
| $m=7$; $n=-\dfrac{3}{4}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)\colon2x+my-z+1=0$ và $(Q)\colon x+3y+(2m+3)z-2=0$. Giá trị của $m$ để $(P)\perp(Q)$ là
| $m=0$ |
| $m=2$ |
| $m=1$ |
| $m=-1$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $M(a;b;c)$ là giao điểm của đường thẳng $d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+3y-4z+4=0$. Tính $T=a+b+c$.
| $T=\dfrac{3}{2}$ |
| $T=6$ |
| $T=4$ |
| $T=-\dfrac{5}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ cắt mặt phẳng $(P)\colon x-y+2z+3=0$ tại điểm $M(a;b;c)$. Giá trị $P=a+b+c$ bằng
| $5$ |
| $-2$ |
| $-5$ |
| $0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-3)^2+(y-2)^2+(z-6)^2=56$ và đường thẳng $\Delta\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-5}{1}$. Biết rằng đường thẳng $\Delta$ cắt $(S)$ tại điểm $A\left(x_0;y_0;z_0\right)$ với $x_0>0$. Giá trị của $y_0+z_0-2x_0$ bằng
| $30$ |
| $-1$ |
| $9$ |
| $2$ |