Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;-1;2)\) và hai đường thẳng \(d_1\colon\begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=-1\end{cases}\), \(d_2\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M\) và cắt cả hai đường thẳng \(d_1\), \(d_2\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=(1;a;b)\). Tính \(a+b\).
 | \(a+b=1\) |
 | \(a+b=-1\) |
 | \(a+b=-2\) |
 | \(a+b=2\) |
Chọn phương án A.
Giả sử \(\Delta\cap d_1=A\) và \(\Delta\cap d_2=B\).
- \(d_1\colon\begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=-1\end{cases}\Rightarrow A\left(t_1;1-t_1;-1\right)\).
- \(d_2\colon\begin{cases}x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=-2+t\end{cases}\Rightarrow B\left(-1+2t_2;1+t_2;-2+t_2\right)\).
Ta có: \(\overrightarrow{AM}=\left(t_1-1;2-t_1;-3\right)\), \(\overrightarrow{MB}=\left(2t_2-2;t_2+2;t_2-4\right)\).
Vì \(M,\,A,\,B\in\Delta\) nên \(M,\,A,\,B\) thẳng hàng.
Khi đó, \(\overrightarrow{MA},\,\overrightarrow{MB}\) cùng phương, tức là $$\begin{aligned} &\,\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}\\ \Leftrightarrow&\,\begin{cases} t_1-1&=k(2t_2-2)\\ 2-t_1&=k(t_2+2)\\ -3&=k(t_2-4)\end{cases}\\ \Leftrightarrow&\,\begin{cases} t_1-2kt_2+2k&=1\\ t_1+kt_2+2k&=2\\ kt_2-4k&=-3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t_1&=0\\ kt_2&=\dfrac{1}{3}\\ k&=\dfrac{5}{6}\end{cases} \end{aligned}$$Suy ra \(\overrightarrow{MA}=(-1;2;-3)\).
Do đó, \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(1;-2;3)\).
Vậy \(a=-2,\,b=3\) nên \(a+b=1\).
Chọn phương án A.
Giả sử \(\Delta\cap d_1=A\) và \(\Delta\cap d_2=B\).
- \(d_1\colon\begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=-1\end{cases}\Rightarrow A\left(t_1;1-t_1;-1\right)\).
- \(d_2\colon\begin{cases}x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=-2+t\end{cases}\Rightarrow B\left(-1+2t_2;1+t_2;-2+t_2\right)\).
Ta có: \(\overrightarrow{AM}=\left(t_1-1;2-t_1;-3\right)\), \(\overrightarrow{MB}=\left(2t_2-2;t_2+2;t_2-4\right)\).
Khi đó: $$\left[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right]=\left(4t_1+5t_2-t_1-2;4t_1-5t_2-t_1t_2+2;-5t_2+3t_1t_2+2\right)$$
Vì \(M,\,A,\,B\in\Delta\) nên \(M,\,A,\,B\) thẳng hàng, tức là $$\begin{aligned}
&\,\left[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right]=\vec{0}\\
\Leftrightarrow&\,\begin{cases}
4t_1+5t_2-t_1-2&=0\\
4t_1-5t_2-t_1t_2+2&=0\\
-5t_2+3t_1t_2+2&=0\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\,\begin{cases}
4t_1+5t_2-t_1&=2\\
4t_1-5t_2-t_1t_2&=-2\\
-5t_2+3t_1t_2&=-2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
t_1&=0\\
t_2&=\dfrac{2}{5}\\
t_1t_2&=0\end{cases}
\end{aligned}$$Suy ra \(\overrightarrow{MA}=(-1;2;-3)\).
Do đó, \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(1;-2;3)\).
Vậy \(a=-2,\,b=3\) nên \(a+b=1\).