Chọn phương án A.

Đặt $t=a^{2x}=b^y=(ab)^{x+my}$. Ta có:

• $a^{2x}=t\Leftrightarrow a=\sqrt[2x]{t}=t^{\tfrac{1}{2x}}$;
• $b^y=t\Leftrightarrow b=\sqrt[y]{t}=t^{\tfrac{1}{y}}$

Khi đó: $$\begin{aligned}
(ab)^{x+my}=t&\Leftrightarrow\left(t^{\tfrac{1}{2x}}\cdot t^{\tfrac{1}{y}}\right)^{x+my}=t\\
&\Leftrightarrow\left(t^{\tfrac{1}{2x}+\tfrac{1}{y}}\right)^{x+my}=t\\
&\Leftrightarrow t^{\left(\tfrac{1}{2x}+\tfrac{1}{y}\right)(x+my)}=t^1\\
&\Leftrightarrow\left(\tfrac{1}{2x}+\tfrac{1}{y}\right)(x+my)=1\\
&\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}+\dfrac{m}{2}\cdot\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+m=1\,(1)
\end{aligned}$$
Đặt $u=\dfrac{x}{y}>0$, phương trình (2) trở thành $$\begin{aligned}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{m}{2}\cdot\dfrac{1}{u}+u+m=1&\Leftrightarrow m+2u^2+2mu=u\\
&\Leftrightarrow2u^2+(2m-1)u+m=0\,(2)
\end{aligned}$$
Để phương trình (2) có nghiệm dương thì $$\begin{aligned}
\begin{cases}
\Delta\geq0\\ s>0\\ p>0
\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}
(2m-1)^2-8m\geq0\\ -\dfrac{2m-1}{2}>0\\ \dfrac{m}{2}>0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
4m^2-12m+1\geq0\\ m<\dfrac{1}{2}\\ m>0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
\left[\begin{array}{l}m\leq\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\\ m\geq\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\\ m<\dfrac{1}{2}\\ m>0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow0<m\leq\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}.
\end{aligned}$$
Vậy không có giá trị nguyên $m$ nào thỏa đề.