Trong không gian \(Oxyz\), tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(M(1;0;1)\) lên đường thẳng \(\Delta\colon\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\) là
 | \((2;4;6)\) |
 | \(\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right)\) |
 | \((0;0;0)\) |
 | \(\left(\dfrac{2}{7};\dfrac{4}{7};\dfrac{6}{7}\right)\) |
Chọn phương án D.
Ta có \(\Delta\colon\begin{cases}x=t\\ y=2t\\ z=3t.\end{cases}\), nhận \(\vec{u}=(1;2;3)\) làm vectơ chỉ phương.
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng qua \(M(1;0;1)\) và vuông góc với \(\Delta\). Khi đó, \(H=\Delta\cap(\alpha)\) chính là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên \(\Delta\).
Vì \((\alpha)\bot\Delta\) nên \(\vec{u}\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \((\alpha)\).
Suy ra $$\begin{aligned}(\alpha)\colon&\,(x-1)+2(y-0)+3(z-1)=0\\
\Leftrightarrow&\,x+2y+3z-4=0\,(*).\end{aligned}$$
Thế \(x=t\), \(y=2t\), \(z=3t\) vào (*), ta được: $$t+4t+9t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{7}.$$
Do đó, \(H\left(\dfrac{2}{7};\dfrac{4}{7};\dfrac{6}{7}\right)\).
Chọn phương án D.
Ta có \(\Delta\colon\begin{cases}x=t\\ y=2t\\ z=3t.\end{cases}\), nhận \(\vec{u}=(1;2;3)\) làm vectơ chỉ phương.
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\Delta\), khi đó \(H(t;2t;3t)\).
Ta có, \(\overrightarrow{MH}=(t-1;2t;3t-1)\).
Ta lại có, \(\overrightarrow{MH}\bot\vec{u}\Leftrightarrow\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=0\)
\(\Leftrightarrow(t-1)+2\cdot2t+3(3t-1)=0\)
\(\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{7}\).
Suy ra \(H\left(\dfrac{2}{7};\dfrac{4}{7};\dfrac{6}{7}\right)\).