Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x-1)^2\big(x^2-2x\big)$ với $\forall x\in\mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $f\big(x^2-8x+m\big)$ có $5$ điểm cực trị?
 | $17$ |
 | $15$ |
 | $16$ |
 | $18$ |
Chọn phương án B.
Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x=0\\ x=1 &\text{(nghiệm kép)}\\ x=2\end{array}\right.$
Lại có $g'(x)=(2x-8)f'\big(x^2-8x+m\big)$.
Cho $\begin{aligned}[t]
g'(x)=0&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2x-8=0\\ f'\big(x^2-8x+m\big)=0\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=4\\ x^2-8x+m=0\\ x^2-8x+m=2\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=4\\ m=-x^2+8x\\ m=-x^2+8x+2\end{array}\right.
\end{aligned}$
Ta thấy, khi $m<16$ thì đường thẳng $y=m$ luôn cắt hai đồ thị $y=-x^2+8x$ và $y=-x^2+8x+2$ tại $4$ điểm phân biệt khác $4$, tức là phương trình $g'(x)=0$ có $5$ nghiệm phân biệt.
Vậy có $15$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa đề là $m\in\{1;2;\ldots;14;15\}$.