Ngân hàng bài tập
SS
Cho $x,\,y$ là hai số thực bất kì thuộc đoạn $[1;3]$. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$. Tính $M+m$.
 | $M+m=\dfrac{10}{3}$ |
 | $M+m=\dfrac{16}{3}$ |
 | $M+m=3$ |
 | $M+m=5$ |
1 lời giải
Chọn phương án B.
Đặt $t=\dfrac{x}{y}$ ta có $\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{t}$. Suy ra $S=t+\dfrac{1}{t}$.
Vì $x,\,y\in[1;3]$ nên $t\in\left[\dfrac{1}{3};3\right]$.
Xét hàm số $f(t)=t+\dfrac{1}{t}$ trên đoạn $\left[\dfrac{1}{3};3\right]$.
Ta có $f'(t)=1-\dfrac{1}{t^2}$. Cho $f'(t)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}t=1 &\in\left[\dfrac{1}{3};3\right]\\ t=-1 &\notin\left[\dfrac{1}{3};3\right]\end{array}\right.$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $M=\dfrac{10}{3}$ và $m=2$. Vậy $M+m=\dfrac{16}{3}$.