Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên để hàm số $y=\dfrac{x^3}{3}-(m+1)x^2+(m-2)x+2m-3$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,\,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=18$. Tính tổng $P$ của tất cả các giá trị $m$ trong $S$.
 | $P=-4$ |
 | $P=1$ |
 | $P=-\dfrac{3}{2}$ |
 | $P=-5$ |
Chọn phương án B.
Ta có $y'=x^2-2(m+1)x+m-2$.
Hàm số có $2$ điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có $2$ nghiệm phân biệt, tức là $$\Delta'>0\Leftrightarrow m^2+m+3>0\,(1)$$
Vì $m^2+m+3=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0$, $\forall x\in\mathbb{R}$ nên (1) luôn đúng. Nói cách khác, hàm số luôn có $2$ điểm cực trị.
Khi đó, theo định lý Vi-ét ta có $\begin{cases}
x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1\cdot x_2=m-2.
\end{cases}$
Theo yêu cầu đề bài thì $$\begin{aligned}
x_1^2+x_2^2=18&\Leftrightarrow\big(x_1+x_2\big)^2-2x_1x_2=18\\
&\Leftrightarrow4m^2+6m-10=0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\dfrac{5}{2}.\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vì $m$ nguyên nên $m=1$. Do đó, $P=1$.