Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số $g(x)=f\left(\sqrt{x^2+1}\right)$ đồng biến trên khoảng
 | $\left(-\infty;-\sqrt{3}\right)$ và $\left(0;\sqrt{3}\right)$ |
 | $\left(-\infty;-\sqrt{3}\right)$ và $\left(\sqrt{3};+\infty\right)$ |
 | $\left(-\sqrt{3};0\right)$ và $\left(\sqrt{3};+\infty\right)$ |
 | $\left(-\infty;-\sqrt{3}\right)$ và $\left(0;+\infty\right)$ |
Chọn phương án C.
Ta có $g'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot f'\left(\sqrt{x^2+1}\right)$.
$\begin{aligned}
g'(x)=0&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ f'\left(\sqrt{x^2+1}\right)=0\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x=0\\ \sqrt{x^2+1}=-1 &(\text{vô nghiệm})\\ \sqrt{x^2+1}=0 &(\text{vô nghiệm})\\ \sqrt{x^2+1}=1\\ \sqrt{x^2+1}=2\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2+1=1\\ x^2+1=4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-\sqrt{3}\\ x=\sqrt{3}\end{array}\right.
\end{aligned}$
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy $g(x)$ đồng biến trên khoảng $\left(-\sqrt{3};0\right)$ và $\left(\sqrt{3};+\infty\right)$.