Chọn phương án C.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó $A\left(-\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}\right)$, $B\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}\right)$, $C(0;2)$.

Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng $y=ax^2+bx+c$, với $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Do Parabol đi qua các điểm $A, B, C$ nên ta có hệ phương trình $$\left\{
\begin{array}{l}
a\cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2 + b\cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right) + c =\dfrac{3}{2}\\
a\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + b\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right) + c =\dfrac{3}{2}\\
c = 2
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
a=-\dfrac{2}{25}\\
b=0\\
c = 2
\end{array}\right.$$
Khi đó phương trình Parabol là $y=-\dfrac{2}{25}x^2+2$.

Diện tích $S$ của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số $y=-\dfrac{2}{25}x^2+2$, trục hoành, hai đường thẳng $x=-\dfrac{5}{2}$ và $x=\dfrac{5}{2}$.

Ta có $S=\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{5}{2}}^{\tfrac{5}{2}}\left(-\dfrac{2}{25}x^2+2\right)\mathrm{d}x=\dfrac{55}{6}$.

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là $S=\dfrac{55}{6}\cdot 700 000 \approx 6 417 000$(đồng).