Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d\colon x+y+2=0$ và đường tròn $(\mathscr{C})\colon x^2+y^2-4x-2y=0$. Gọi $I$ là tâm của $(\mathscr{C})$, $M$ là điểm thuộc $d$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MA$ ($A$ là tiếp điểm) và một cát tuyến cắt $(\mathscr{C})$ tại hai điểm $B,C$ (điểm $B$ nằm giữa $M$ và $C$). Tìm tọa độ điểm $M$, biết rằng tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và có diện tích bằng $5$.
Đường tròn $(\mathscr{C})$ có tâm $I\left(2;1\right)$ bán kính $IA=\sqrt{5}$. Vì tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn và vuông tại $B$, suy ra trung điểm của $AC$ là tâm đường tròn $(\mathscr{C})$.
Đặt $AB=a>0$ thì từ định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $BC=\sqrt{20-a^2}$.
Mặt khác $$\begin{aligned}S_{ABC}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{20-a^2}=5&\Leftrightarrow a^4-20a^2+100=0\\ &\Leftrightarrow a^2=10\\ &\Leftrightarrow a=\sqrt{10}\;(\text{vì }a>0).\end{aligned}$$
Xét tam giác $MAC$ vuông tại $A$ với $AB$ là đường cao ta có
$$\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AB^2}\Leftrightarrow AM=\sqrt{20}.$$
Tam giác $MAI$ vuông tại $A$ nên ta có $IM=\sqrt{IA^2+MA^2}=5$.
Do $M\in d\Rightarrow M\left(t;-t-2\right)$.
$IM=5\Leftrightarrow\left(t-2\right)^2+\left(t+3\right)^2=25\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=2\\ t=-3\end{array}\right.$
Vậy $M\left(2;-4\right)$ hoặc $M\left(-3;1\right)$.