$\begin{eqnarray*}\text{a)}&3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)&\leq xyz\\ \Leftrightarrow&3\left(xy+yz+zx\right)&\leq\left(xyz\right)^2\\ \Leftrightarrow&3\left(xy+yz+zx\right)&\leq\left(x+y+z\right)^2\\
\Leftrightarrow&\left(x-y\right)^2+\left(y-z \right)^2+\left(z-x\right)^2&\ge0\;\text{( đúng).}\end{eqnarray*}$

Dấu bằng có khi và chỉ khi $x=y=z$.

b) Giả thiết suy ra $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1$.

Ta có $$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}&=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}}\\ &=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)}\\ &\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\end{aligned}$$
Viết hai BĐT tương tự rồi cộng lại ta được
$$\begin{aligned}\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}&\le3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\\ &\le xyz\end{aligned}$$
Dấu xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$

Vậy (1) được chứng minh, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\sqrt{3}$.