a) Giải phương trình $\cos2x+2\sin x-1-2\sin x\cos2x=0$. (1)
$\begin{aligned}\left(1\right)&\Leftrightarrow\cos2x\left(1-2\sin x\right)-\left(1-2\sin x\right)=0 \\
&\Leftrightarrow\left(\cos2x-1\right)\left(1-2\sin x\right)=0\end{aligned}$
Khi $\cos2x=1\Leftrightarrow x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$
Khi $\sin x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

b) $\begin{cases}x^3+y^3=1\\ x^2y+2xy^2+y^3=2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^3+y^3=1 &(1)\\ 2x^3+y^3-x^2y-2xy^2=0 &(2)\end{cases}$
Xét $y=0$ suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Xét $y\ne0$. Ta có $\begin{cases}x^3+y^3=1 &(3)\\ 2\left(\dfrac{x}{y}\right)^3-\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-2\left(\dfrac{x}{y}\right)+1=0 &(4)\end{cases}$
Đặt $\dfrac{x}{y}=t$ phương trình (4) có dạng $2t^3 – t^2 – 2t + 1 = 0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t =\pm1\\ t =\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

• Với $t=1$ ta có hệ $\begin{cases}x^3+y^3=1\\ x=y\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$
• Với $t=-1$ ta có hệ $\begin{cases}x^3+y^3=1\\ x=-y\end{cases}\Leftrightarrow$ hệ vô nghiệm.
• Với $t=\dfrac{1}{2}$ ta có hệ $\begin{cases}x^3+y^3=1\\ y=2x\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{3}\\ y=\dfrac{2\sqrt[3]{3}}{3}\end{cases}$