Chọn phương án B.

Đặt $A=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x^2+2}{(x+2)^2}\mathrm{\,d}x$ ta có $$A-c=\ln3^a2^b\Leftrightarrow\mathrm{e}^{A-c}=3^a2^b$$Vì $a,\,b,\,c\in\mathbb{Z}$ nên ta khảo sát hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{A-x}$ với $x\in\mathbb{Z}$ bằng chức năng TABLE của máy tính cầm tay.

1. Gán giá trị $\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x^2+2}{(x+2)^2}\mathrm{\,d}x$ vào biến nhớ A.
   
2. Nhập hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{A-x}$.
   
3. Chọn Start=-10, End=10 và Step=1.
   
4. Ta tìm giá trị $f(x)\in\mathbb{Q}$.
   

Ta biết $\dfrac{16}{81}=\dfrac{1}{81}\cdot16=3^4\cdot2^{-4}$. Suy ra $a=4$ và $b=-4$, đồng thời $c=2$.

Vậy $a+b+c=4-4+2=2$.

Chọn phương án B.

\(\begin{eqnarray*}&I&=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x^2+2}{(x+2)^2}\mathrm{\,d}x\\
&&=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\left(x^2+4x+4\right)-(4x+8)+6}{(x+2)^2}\mathrm{\,d}x\\
&&=\displaystyle\int\limits_0^1 \left( 1-\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{6}{(x+2)^2} \right) \mathrm{\,d}x\\
&&=\left(x-4\ln|x+2|-\dfrac{6}{x+2}\right)\bigg|_0^1\\
&&=-4\ln3+4\ln2+2. \end{eqnarray*}\)

Theo đó \(a=-4,\,b=4,\,c=2\Rightarrow S=a+b+c=2\).