Ngân hàng bài tập
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB=2a\), \(BC=a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy và cạnh bên \(SC\) hợp với đáy một góc \(30^\circ\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp theo \(a\).
1 lời giải
Diện tích đáy: \(S_{ABCD}=AB\cdot BC=2a^2\).
Ta có:
- \(\left(SC,(ABCD)\right)=(SC,AC)=\widehat{SCA}=30^\circ\)
- \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{5}\).
SA là đường cao.
Vì \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) nên $$\begin{align*}
\tan\widehat{C}&=\dfrac{SA}{AC}\\
\Rightarrow SA&=AC\cdot\tan\widehat{C}\\
&=a\sqrt{5}\cdot\tan30^\circ\\
&=\dfrac{a\sqrt{15}}{3}
\end{align*}$$
Vì \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) nên $$\begin{align*}
\tan\widehat{C}&=\dfrac{SA}{AC}\\
\Rightarrow SA&=AC\cdot\tan\widehat{C}\\
&=a\sqrt{5}\cdot\tan30^\circ\\
&=\dfrac{a\sqrt{15}}{3}
\end{align*}$$
Vậy thể tích bằng $$\begin{align*}
V&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot2a^2\cdot\dfrac{a\sqrt{15}}{3}\\
&=\dfrac{2a^3\sqrt{15}}{9}
\end{align*}$$