♥ Với \(n=1\): \(1=\dfrac{1(1+1)(1+2)}{6}\Rightarrow\) đẳng thức đúng

♥ Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq1\), tức là: $$1+3+6+\cdots+\dfrac{k(k+1)}{2}=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{6}$$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh: $$1+3+6+\cdots+\dfrac{k(k+1)}{2}+\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}=\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}$$

♥ Thật vậy:

\(\begin{eqnarray*}\text{VT}&=&\underbrace{1+3+6+\cdots+\dfrac{k(k+1)}{2}}&+\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\\
&=&\dfrac{k(k+1)(k+2)}{6}&+\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\\
&=&(k+1)(k+2)\left(\dfrac{k}{6}+\dfrac{1}{2}\right)&\\
&=&(k+1)(k+2)\dfrac{k+3}{6}&\\
&=&\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}&=\text{VP}\end{eqnarray*}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Suy ra đẳng thức đúng với \(\forall n\in\Bbb{N}^*\)