♥ Với \(n=1\): \(1^2=\dfrac{1(4\cdot1^2-1)}{3}\Rightarrow\) đẳng thức đúng

♥ Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq1\), tức là: $$1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2=\dfrac{k(4k^2-1)}{3}$$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh: $$\begin{align*}1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k+1)^2&=\dfrac{(k+1)(4[k+1]^2-1)}{3}\\
&=\dfrac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}\end{align*}$$

♥ Thật vậy:
\(\begin{align*}\text{VT}&=\underbrace{1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2}+(2k+1)^2\\
&=\dfrac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2\\
&=\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2\\
&=(2k+1)\left(\dfrac{k(2k-1)}{3}+(2k+1)\right)\\
&=\dfrac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}=\text{VP}\end{align*}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Suy ra đẳng thức đúng với \(\forall n\in\Bbb{N}^*\)