♥ Với \(n=1\): \(1=1^2\Rightarrow\) đẳng thức đúng

♥ Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq1\), tức là: $$1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2$$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh: $$1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2$$

♥ Thật vậy:
\(\begin{align*}\text{VT}&=\underbrace{1+3+5+\cdots+(2k-1)}+(2k+1)\\
&=k^2+(2k+1)\\
&=(k+1)^2=\text{VP}\end{align*}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Suy ra đẳng thức đúng với \(\forall n\in\Bbb{N}^*\)