♥ Với \(n=1\): \(1=\dfrac{1(1+1)}{2}\Rightarrow\) đẳng thức đúng

♥ Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq1\), tức là: $$1+2+3+\cdots+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh: $$1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$$

♥ Thật vậy:
\(\begin{align*}\text{VT}&=\underbrace{1+2+3+\cdots+k}+(k+1)\\
&=\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)\\
&=(k+1)\left(\dfrac{k}{2}+1\right)\\
&=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}=\text{VP}\end{align*}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Suy ra đẳng thức đúng với \(\forall n\in\Bbb{N}^*\)