Chọn phương án D.

Giả sử $M(0;y;0)$. Ta có

• $\overrightarrow{AM}=(1;y+1;0)\Rightarrow AM=\sqrt{1+(y+1)^2}$
• $\overrightarrow{BM}=(-3;y-1;1)\Rightarrow BM=\sqrt{10+(y-1)^2}$

Vì $M$ cách đều $A,B$ nên $$\begin{aligned}
AM=BM&\Leftrightarrow\sqrt{1+(y+1)^2}=\sqrt{10+(y-1)^2}\\
&\Leftrightarrow1+(y+1)^2=10+(y-1)^2\\
&\Leftrightarrow y^2+2y+2=y^2-2y+11\\
&\Leftrightarrow 4y=9\\
&\Leftrightarrow y=\dfrac{9}{4}.
\end{aligned}$$Vậy $M\left(0;\dfrac{9}{4};0\right)$.

Chọn phương án D.

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\Rightarrow I\left(1;0;-\dfrac{1}{2}\right)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(I\) và nhận \(\overrightarrow{AB}=(4;2;-1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra \((\alpha)\colon4(x-1)+2(y-0)-\left(z+\dfrac{1}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4x+2y-z-\dfrac{9}{2}=0\).

Lại vì \(M\in Oy\) nên \(M\left(0;y_0;0\right)\), ta có: $$4\cdot0+2y_0-0-\dfrac{9}{2}=0\Leftrightarrow y_0=\dfrac{9}{4}$$

Vậy \(M\left(0;\dfrac{9}{4};0\right)\).