Chọn phương án D.

• Với $y=x+2$: Phương trình hoành độ giao điểm là $$\begin{aligned}2x^2-5x+3=x+2\Leftrightarrow&2x^2-6x+1=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}\\ x=\dfrac{3-\sqrt{7}}{2}\end{array}\right.\;\text{(loại)}\end{aligned}$$
• Với $y=x+3$: Phương trình hoành độ giao điểm là $$\begin{aligned}2x^2-5x+3=x+3\Leftrightarrow&2x^2-6x=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right.\;\text{(loại)}\end{aligned}$$
• Với $y=-x-1$: Phương trình hoành độ giao điểm là $$2x^2-5x+3=-x-1\Leftrightarrow2x^2-4x+4=0$$Phương trình này vô nghiệm (loại).
• Với $y=-x+1$: Phương trình hoành độ giao điểm là $$\begin{aligned}2x^2-5x+3=-x+1\Leftrightarrow&2x^2-4x+2=0\\ \Leftrightarrow&x=1\;\text{(nghiệm kép)}\end{aligned}$$

Vậy đường thẳng $y=-x+1$ tiếp xúc với parabol đã cho.