Chọn phương án C.

Vì $\left(\mathscr{P}\right)\colon y=ax^2+bx+c$ đi qua ba điểm $A(1;1)$, $B(-1;-3)$ và $O(0;0)$ nên ta có hệ phương trình $$\begin{aligned}\begin{cases}
a\cdot1^2+b\cdot1+c=1\\
a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c=-3\\
a\cdot0^2+b\cdot0+c=0
\end{cases}\Leftrightarrow&\begin{cases}
a+b+c=1\\
a-b+c=-3\\
c=0
\end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}
a=-1\\ b=2\\ c=0.
\end{cases}\end{aligned}$$
Vậy $\left(\mathscr{P}\right)\colon y=-x^2+2x$.