Chọn phương án B.

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt $\left(BDE\right)$, tức là, $AK\bot\left(BDE\right)$.

Gọi $M=EK\cap BD$.

Vì $\begin{cases}BC\bot AK\,\,\left(AK\bot\left(BDE\right)\right)\\ BD\bot EA\end{cases}$ nên $BD\bot\left(EAM\right)$.
Suy ra $BD\bot AM$ và $BD\bot EM$.

Trong khi đó, $\triangle ABD$ vuông cân tại $A$ và $\triangle EBD$ đều.
Suy ra $\begin{cases}AM=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ EM=BD\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\end{cases}$

Vì $\triangle EAM$ vuông tại $A$, có $AK$ là đường cao, nên $$\begin{aligned}
&AK\cdot EM=AE\cdot AM\\
\Leftrightarrow &AK=\dfrac{AE\cdot AM}{EM}=\dfrac{1\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
\end{aligned}$$