Chọn phương án D.

$$\left(x-1\right)\left(x^2-4mx-4\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x-1=0&(1)\\ x^2-4mx-4=0&(2)\end{array}\right.$$
Phương trình (1) có một nghiệm là $x=1$.

Theo đề, phương trình (2) phải có hai nghiệm khác $1$, tức là $$\begin{aligned}
&\begin{cases}1^2-4m\cdot1-4\neq0\\ \Delta'>0\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}m\neq-\dfrac{3}{4}\\ 4m^2+4>0\,\,\left(\text{đúng với }\forall m\in\Bbb{R}\right)\end{cases}
\end{aligned}$$
Từ đó suy ra $m\neq-\dfrac{3}{4}$.