Giả sử hàm số \(y=f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0;+\infty)\) và thỏa mãn \(f(1)=1\), \(f(x)=f'(x)\cdot\sqrt{3x+1}\), với mọi \(x>0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
 | \(3< f(5)<4\) |
 | \(2< f(5)<3\) |
 | \(1< f(5)<2\) |
 | \(4< f(5)<5\) |
Chọn phương án A.
Vì \(f(x)>0\) nên theo đề bài ta có $$\begin{eqnarray*}
&f'(x)\cdot\sqrt{3x+1}&=f(x)\\
\Leftrightarrow&\dfrac{f'(x)}{f(x)}&=\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}\\
\Leftrightarrow&\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x&=\dfrac{2}{3}\displaystyle\int\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}\mathrm{\,d}x\\
\Leftrightarrow&\ln f(x)&=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C.
\end{eqnarray*}$$
Vì \(f(1)=1\) nên $$\ln f(1)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3\cdot1+1}+C\Leftrightarrow C=-\dfrac{4}{3}$$Vậy \(\ln f(x)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{4}{3}\).
Khi đó \(\ln f(5)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3\cdot5+1}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}\).
Suy ra \(f(5)=\mathrm{e}^{\tfrac{4}{3}}\approx3,794\).
Do đó \(3< f(5)<4\).