Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\colon x^2+y^2+4x-2y-8=0\), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d\colon2x-3y+2018=0\).
 | \(3x+2y-17=0\) hoặc \(3x+2y-9=0\) |
 | \(3x+2y+17=0\) hoặc \(3x+2y+9=0\) |
 | \(3x+2y+17=0\) hoặc \(3x+2y-9=0\) |
 | \(3x+2y-17=0\) hoặc \(3x+2y+9=0\) |
Chọn phương án C.
Ta có \(\begin{cases}
a=\dfrac{4}{-2}=-2\\
b=\dfrac{-2}{-2}=1\\
c=-8.
\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(\mathscr{C}\right)\) có tâm \(I(-2;1)\) và bán kính \(R=\sqrt{(-2)^2+1^2-(-8)}=\sqrt{13}\).
Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến cần tìm.
Vì \(\Delta\parallel d\) nên \(\vec{u}\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\).
Khi đó \(\Delta\colon3x+2y+c=0\).
Vì \(\Delta\) là tiếp tuyến của \(\left(\mathscr{C}\right)\) nên $$\begin{eqnarray*}
&\mathrm{d}\left(I,\Delta\right)&=R\\
\Leftrightarrow&\dfrac{\left|3\cdot(-2)+2\cdot1+c\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}&=\sqrt{13}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{\left|c-4\right|}{\sqrt{13}}&=\sqrt{13}\\
\Leftrightarrow&\left|c-4\right|&=13\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}c-4=13\\ c-4=-13\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}c=17\\ c=-9\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}\Delta\colon3x+2y+17=0\\ \Delta\colon3x+2y-9=0\end{array}\right.
\end{eqnarray*}$$