Chọn phương án A.

Điều kiện: \(\dfrac{2x+1}{x+5}>0\).

Suy ra \(x\in(-\infty;-5)\cup\left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)\) (1)

Ta có $$\begin{aligned}
\log_{\tfrac{4}{5}}\dfrac{2x+1}{x+5}\geq2\Leftrightarrow&\,\left(\dfrac{4}{5}\right)^{\log_{\frac{4}{5}}\tfrac{2x+1}{x+5}}\geq\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\\
\Leftrightarrow&\,\dfrac{2x+1}{x+5}\leq\dfrac{16}{25}\\
\Leftrightarrow&\,\dfrac{2x+1}{x+5}-\dfrac{16}{25}\leq0\\
\Leftrightarrow&\,\dfrac{34x-55}{25(x+5)}\leq0.
\end{aligned}$$

Suy ra \(x\in\left(-5;\dfrac{55}{34}\right]\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x\in\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{55}{34}\right]\).

Vì \(x\in\mathbb{Z}\) nên có \(2\) nghiệm thỏa đề là \(x=0\) và \(x=1\).