Chọn phương án A.

Điều kiện: \(\begin{cases}
x>0\\ \log_4x>0\\ \log_2x>0
\end{cases}\Leftrightarrow x>1\).

Ta có $$\begin{aligned}
&\,\log_2\left(\log_4x\right)+\log_4\left(\log_2x\right)\leq2\\
\Leftrightarrow&\,\log_2\left(\log_{2^2}x\right)+\log_{2^2}\left(\log_2x\right)\leq2\\
\Leftrightarrow&\,\log_2\left(\dfrac{1}{2}\log_2x\right)+\dfrac{1}{2}\log_2\left(\log_2x\right)\leq2\\
\Leftrightarrow&\,\log_2\left(\dfrac{1}{2}\log_2x\right)+\log_2\left(\log_2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\leq2\\
\Leftrightarrow&\,\log_2\left(\dfrac{1}{2}\log_2x\cdot\left(\log_2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right)\leq2\\
\Leftrightarrow&\,\dfrac{1}{2}\log_2x\cdot\left(\log_2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\leq4\\
\Leftrightarrow&\,\left(\log_2x\right)^{\tfrac{3}{2}}\leq8\\
\Leftrightarrow&\,\left[\left(\log_2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right]^3\leq8\\
\Leftrightarrow&\,\left(\log_2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\leq2\\
\Leftrightarrow&\,\log_2x\leq4\\
\Leftrightarrow&\,2^{\log_2x}\leq2^4\\
\Leftrightarrow&\,x\leq16.
\end{aligned}$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((1;16]\).