Chọn phương án C.

Điều kiện: \(\begin{cases}(x+1)^2>0\\ 4-x>0\\ 4+x>0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq-1\\ x<4\\ x>-4.\end{cases}\)

Ta có$$\begin{eqnarray*}
&\log_4(x+1)^2+2&=\log_{\sqrt{2}}\sqrt{4-x}+\log_8(4+x)^3\\
\Leftrightarrow&\log_{2^2}(x+1)^2+2&=\log_{2^{\frac{1}{2}}}(4-x)^{\tfrac{1}{2}}+\log_{2^3}(4+x)^3\\
\Leftrightarrow&\log_2|x+1|+\log_24&=\log_2(4-x)+\log_2(4+x)\\
\Leftrightarrow&\log_2|x+1|&=\log_2\dfrac{(4-x)(4+x)}{4}\\
\Leftrightarrow&\log_2|x+1|&=\log_2\dfrac{16-x^2}{4}\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x+1=\dfrac{16-x^2}{4}\\ x+1=\dfrac{x^2-16}{4}\end{array}\right.&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}4x+4=16-x^2\\ 4x+4=x^2-16\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x^2+4x-12=0\\ x^2-4x-20=0\end{array}\right.&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x=2 &\text{(nhận)}\\ x=-6 &\text{(loại)}\\ x=2+2\sqrt{6} &\text{(loại)}\\ x=2-2\sqrt{6} &\text{(nhận)}\end{array}\right.
\end{eqnarray*}$$
Khi đó tổng các nghiệm cần tìm là \(2+2-2\sqrt{6}=4-2\sqrt{6}\).