Chọn phương án A.

Ta có \(\begin{cases}
\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{1}{2}\\
\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}(ax+b)=a+b
\end{cases}\)

Để \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\) thì \(f(x)\) phải liên tục tại \(x=1\), tức là $$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\Leftrightarrow a+b=\dfrac{1}{2}\;(1)$$
Ta lại có $$\begin{cases}
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2}}{x-1}\\
&=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x^2-1}{2(x-1)}\\
&=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{(x-1)(x+1)}{2(x-1)}\\
&=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x+1}{2}=1.
\end{aligned}\\
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{(ax+b)-(a+b)}{x-1}\\
&=\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{ax-a}{x-1}\\
&=\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{a(x-1)}{x-1}\\
&=\lim\limits_{x\to1^+}a=a.
\end{aligned}
\end{cases}$$
Để \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\) thì $$\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\Leftrightarrow a=1\;(2)$$
Từ (1) và (2) ta có \(a=1\) và \(b=-\dfrac{1}{2}\).