Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \((C)\colon y=\dfrac{4}{x}\) và đường thẳng \((d)\colon y=5-x\). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \((H)\) xung quanh trục hoành.
 | \(V=51\pi\) |
 | \(V=33\pi\) |
 | \(V=9\pi\) |
 | \(V=18\pi\) |
Chọn phương án C.
Phương trình hoành độ giao điểm: $$\begin{aligned}\dfrac{4}{x}=5-x&\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq0\\ x^2-5x+4=0\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=1\\ x=4.
\end{array}\right.\end{aligned}$$
Mặt khác, \(\dfrac{4}{x}-(5-x)=\dfrac{x^2-5x+4}{x}\).
Bảng xét dấu:
Theo đó, với mọi \(x\in[1;4]\) ta luôn có \(\dfrac{x^2-5x+4}{x}<0\), hay \(\dfrac{4}{x}<5-x\).
\(\begin{aligned}\Rightarrow V&=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\left[(5-x)^2-\left(\dfrac{4}{x}\right)^2\right]\mathrm{\,d}x\\
&=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\left[25-10x+x^2-\dfrac{16}{x^2}\right]\mathrm{\,d}x\\
&=\pi\left(25x-5x^2+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{16}{x}\right)\bigg|_1^4\\
&=9\pi.\end{aligned}\)
